Question

【题目】如图，在矩形中，点E为的中点，连接，过点D作于点F，过点C作于点N，延长交于点M．

（1）求证：

（2）连接CF，并延长CF交AB于G

①若，求的长度；

②探究当为何值时，点G恰好为AB的中点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） ①2；②当时，点G恰好为AB中点．

【解析】

（1）证出四边形是平行四边形，得出，由中点的定义得出，得出，即可得出结论；

（2）①连接，由平行四边形性质得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，由矩形的性质得出；

②设，，则，由勾股定理得出，作交于，由相似三角形的性质得出，得出，证明，得出，得出，即可得出结论．

（1）证明：，，

，

四边形是矩形，

，，

四边形是平行四边形，

，

点为的中点，

，

，

；

（2）解：①连接，如图1所示：

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

垂直平分线段，

，

，四边形是矩形，

；

②设，，

则，，

作交于，如图2所示：

当为中点时，，

，

，

，

，，

，

，即，

整理得：，

解得：（负值舍去），

，

，

即当时，点恰为的中点．