Question

【题目】已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；

（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（4，﹣5）；（3）在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，），最大值为：．

【解析】

试题分析：（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；

（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；

（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．

解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，

故点C的坐标为（﹣1，0）；

令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3

故点A的坐标为（0，3）；

∵△OAB是等腰直角三角形．

∴OB=OA=3，

∴点B的坐标为（3，0），

设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，

解得：

∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3

∵线CD∥AB

∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b

∵经过点C（﹣1，0），

∴﹣（﹣1）+b=0

解得：b=﹣1，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，

令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得：x=﹣1，或x=4，

将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，

∴点D的坐标为：（4，﹣5）；

（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．

S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB

=（OA+PN）ON+PNBN﹣OAOB

=（3+y）x+y（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：

S△PAB=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，S△PAB取得最大值．

当x=时，y=﹣x2+2x+3=，

∴P（，）．

所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；

P点的坐标为（，），最大值为：．