Question

15．如图，D为腰长为1的等腰直角形△ABC的腰AC延长线上的动点，E为底边BC延长线上的动点，∠AED=135°，若CE=x，CD=y，则y关于x的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥AE交DE的延长线于M，连接CM，AE与CM交于点O．首先证明△BAE≌△CAM，推出∠AEA=∠AMC，BE=CM=$\sqrt{2}$+x，再由△ACM∽△ECD，
得到$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CM}{CD}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}+x}{y}$，即y=x²+$\sqrt{2}$x，由此即可判断．

解答 解：如图，作AM⊥AE交DE的延长线于M，连接CM，AE与CM交于点O．

∵AB=AC=1，∠BAC=∠MAE=90°，
∴∠BAE=∠CAM，
∵∠AED=135°，
∴∠AEM=∠AME=45°，
∴AM=AE，
在△BAE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AC}\\{∠BAE=∠CAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAM，
∴∠AEA=∠AMC，BE=CM=$\sqrt{2}$+x，
∵∠AOM=∠COE，
∴∠MAO=∠ECO=90°，
∴∠ACB=∠ACM=45°，
∴∠CAE+∠AEB=45°，
∵∠D+∠DAE=180°-135°=45°，
∴∠D=∠AEB=∠AMC，∵∠DCE=∠ACB=∠ACM，
∴△ACM∽△ECD，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CM}{CD}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}+x}{y}$，
∴y=x²+$\sqrt{2}$x，
∴图象是抛物线，开口向上，
故选A．

点评 本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，其中全等三角形解决问题，属于中考常考题型．