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【题目】如图1,直线MN与直线ABCD分别交于点EF1与∠2互补.

1)求证:ABCD

2)如图2AEF与∠EFC的角平分线相交于点P,直线EP与直线CD交于点G,过点GEG的垂线,交直线MN于点H.求证:PFGH

3)如图3,在(2)的条件下,连接PHKGH上一点,且∠PHK=HPK,作∠EPK的平分线交直线MN于点Q.问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出∠HPQ的度数;若变化,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)HPQ的大小不会发生变化

【解析】试题分析

1)由题意可得∠1+∠2=180°∠1+∠AEF=180°,从而可得∠2=∠AEF,由此可得AB∥CD

2)由本题的已知条件结合(1)中所得AB∥CD可证得PF⊥EG,结合GH⊥EG即可得到PF∥GH

3设∠KPH=α,由PFGH可得FPH=PHK,结合PHK=HPK可得FPH=KPH=α,这样由PQ平分EPK即可得到KPQ= 从而可得HPQ=45°+αα=45°由此说明HPQ的大小不会发生变化.

试题解析

1)如图1∵∠1∠2互补,

∴∠1+∠2=180°

∵∠1+∠AEF=180°

∴∠2=∠AEF

∴AB∥CD

2)如图2,由(1)知,AB∥CD

∴∠BEF+∠EFD=180°

∵∠BEF∠EFD的角平分线交于点P

∴∠FEP+EFP=BEF+EFD=90°

∴∠EPF=90°,即EG⊥PF

∵GH⊥EG

∴PF∥GH

3)如图3设∠KPH=α

∵PF∥GH

∴∠FPH=∠PHK,而∠PHK=∠HPK

∴∠FPH=∠KPH=α

∵PQ平分∠EPK

∴∠KPQ=

∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°

∠HPQ的大小不会发生变化.

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