【题目】如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P,直线EP与直线CD交于点G,过点G做EG的垂线,交直线MN于点H.求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点,且∠PHK=∠HPK,作∠EPK的平分线交直线MN于点Q.问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出∠HPQ的度数;若变化,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠HPQ的大小不会发生变化
【解析】试题分析:
(1)由题意可得∠1+∠2=180°,∠1+∠AEF=180°,从而可得∠2=∠AEF,由此可得AB∥CD;
(2)由本题的已知条件结合(1)中所得AB∥CD可证得PF⊥EG,结合GH⊥EG即可得到PF∥GH;
(3)设∠KPH=α,由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK,结合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α,这样由PQ平分∠EPK,即可得到∠KPQ= ,从而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°,由此说明∠HPQ的大小不会发生变化.
试题解析:
(1)如图1,∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1+∠AEF=180°,
∴∠2=∠AEF,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)如图3,设∠KPH=α,
∵PF∥GH,
∴∠FPH=∠PHK,而∠PHK=∠HPK,
∴∠FPH=∠KPH=α,
∵PQ平分∠EPK,
∴∠KPQ= ,
∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°,
即∠HPQ的大小不会发生变化.
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其顶点为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论正确的是( )
①若抛物线与x轴的另一个交点为(k,0),则-2<k<-1; ②c-a=n;
③若x<-m时,y随x的增大而增大,则m=-1;④若x<0时,ax2+(b+2)x<0.
A. ①②④ B. ①③④ C. ①② D. ①②③④
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为20米)的矩形鸡场ABCD,设BC边长为x米,鸡场的面积为y平方米.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)写出其二次项、一次项、常数项;
(3)写出自变量x的取值范围.
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【题目】李明同学到文具商店为学校美术组的30名同学购买铅笔和橡皮,已知铅笔每支m元,橡皮每块n元,若给每名同学买2支铅笔和3块橡皮,则一共需付款__________________元.
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【题目】一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作;…;若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.
(1)如图1,矩形ABCD中,若AB=3,BC=9,则称矩形ABCD为 阶奇异矩形.
(2)如图2,矩形ABCD长为7,宽为3,它是奇异矩形吗?如果是,请写出它是几阶奇异矩形,并在图中画出裁剪线;如果不是,请说明理由.
(3)已知矩形ABCD的一边长为20,另一边长为a(a<20),且它是3阶奇异矩形,请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图,并在图的下方直接写出a的值.
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【题目】如图,将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开),再按图示方法折叠,能够得到一个直角三角形(阴影部分),且它的一条直角边等于斜边的一半,这样的图形有( ).
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】如图,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是O的切线;
(2)求证: ;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
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