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    3．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=$\frac{1}{2}$AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．
    （1）问题发现
    ①当θ=0°时，$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
    ②当θ=180°时，$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$．
    （2）拓展探究
    试判断：当0°≤θ＜360°时，$\frac{BE}{CD}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
    （3）问题解决
    ①在旋转过程中，BE的最大值为2$\sqrt{2}$+2；
    ②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

    分析 （1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；
    ②先得出DE∥BC即可得出，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，再用比例的性质即可得出结论；
    （2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；
    （3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．

    解答 解：（1）①当θ=0°时，
    在Rt△ABC中，AC=BC=2，
    ∴∠A=∠B=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
    ∵AD=DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
    ∴∠AED=∠A=45°，
    ∴∠ADE=90°，
    ∴DE∥CB，
    ∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
    ∴$\frac{CD}{2}=\frac{BE}{2\sqrt{2}}$，
    ∴$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
    故答案为：$\sqrt{2}$，

    ②当θ=180°时，如图1，
    ∴DE∥BC，
    ∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
    ∴$\frac{AE+AB}{AB}=\frac{AD+AC}{AC}$，
    即：$\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}$，
    ∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
    故答案为：$\sqrt{2}$；

    （2）当0°≤θ＜360°时，$\frac{BE}{CD}$的大小没有变化，
    理由：∵∠CAB=∠DAE，
    ∴∠CAD=∠BAE，
    ∵$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
    ∴△ADC∽△AEB，
    ∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
    （3）①当点E在BD的延长线时，BE最大，
    在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{2}$AD=2，
    ∴BE最大=AB+AE=2$\sqrt{2}$+2；
    ②如图2，

    当点E在BD上时，
    ∵∠ADE=90°，
    ∴∠ADB=90°，
    在Rt△ADB中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，根据勾股定理得，DB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
    ∴BE=BD+DE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
    由（2）知，$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
    ∴CD=$\frac{BE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$+1，
    如图3，

    当点D在BE的延长线上时，
    在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
    ∴BE=BD-DE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
    由（2）知，$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
    ∴CD=$\frac{BE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-1．
    故答案为：$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

    点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质，解（1）的关键是得出DE∥BC，解（2）的关键是判断出△ADC∽△AEB，解（3）关键是作出图形求出BD，是一道中等难度的题目．

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