Question

在平面直角坐标系中描出下列各点A（0，4），B（-4，0），C（6，0），D（2，4），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？

等腰梯形

（2）在平面直角坐标系中，若PA=PB=PC=PD，则点P的坐标是

（1，-1）

；
（3）在四边形ABCD内是否存在一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形？若有，请求出P点的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用网格和点的坐标画图，很容易判断四边形ABCD是等腰梯形；
（2）由PA=PB=PC=PD知，点P一定在两底的垂直平分线上．设点P（1，y），点P也在两腰的中垂线上，画出图形根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y），B（a，b），则AB=

(x-a)2+(y-b)2

，即可得到P点坐标；
（3）当点P不在两腰的中垂线上时，设点P（1，m），由DC=CP利用两点之间的距离公式可得算出m的值．

解答：解：（1）如图所示：是等腰梯形；

（2）点P一定在两底的垂直平分线上．设点P（1，y），
点P也在两腰的中垂线上：

(0-1)2+(y-4)2

=

(-4-1)2+(0-y)2

，
解得：y=-1，
故P（1，-1）；

（3）当点P不在两腰的中垂线上时，设点P（1，m），
DC=CP，

(6-1)2+(0-m)2

=4

2

，
解得：m=

7

，
故P（1，

7

）．

点评：此题主要考查了等腰梯形的判定，坐标与图形的性质及等腰三角形的性质等知识点的综合掌握及运用能力，关键是熟练掌握两点之间的距离公式．