Question

如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，BE交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABE．
（2）如果AB=13，BC=5，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出OD∥BE，推出∠EBD=∠ODB=∠OBD即可；
（2）过O作OG⊥BC于G，的BG=CG=2.5，在Rt△OBG中，根据勾股定理求出OG=6，根据矩形的性质得出OD=GE=

13

2

=6.5，DE=OG=6，BE=9，在Rt△DEB中根据勾股定理求出BD即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于D，
∴OD⊥PE，
∵BE⊥PE，
∴∠E=∠ODP=90°，
∴OD∥BE，
∴∠ODB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EBD=∠OBD，
即BD平分∠ABE；

（2）解：过O作OG⊥BC于G，
则BG=CG=2.5，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

( 13 2 )2-2．52

=6，
∵∠ODE=∠DEG=∠EGO=90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OD=GE=

13

2

=6.5，DE=OG=6，BE=9，
∴在Rt△DEB中，BD=

DE2+BE2

=

62+92

=3

13

．

点评：本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．