Question

3．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{a}{x}$在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y=$\frac{a}{x}$的表达式；
（2）已知点C（0，7），试在该反比例函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求OA的长，则OB=OA=5，利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）因为MB=MC，所以M在BC的中垂线上，而BC的中垂线所在的直线为：y=1，将y=1代入反比例函数可求得M的坐标．

解答 解：（1）过A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F，
∵A（4，3），
∴OE=4，AE=3，
∴OA=5，
∵OB=OA，
∴OB=5，
∴B（0，-5），
把A（4，3）、B（0，-5）代入一次函数y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=2x-5，
把A（4，3）代入反比例函数y=$\frac{a}{x}$得：
a=4×3=12，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵B（0，-5）、C（0，7），
∴BC=12，
∴BC的中垂线为：直线y=1，
当y=1时，x=12，
∴M（12，1）．

点评 本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、线段垂直平分线的性质，明确到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时注意各象限内点的坐标特征，与勾股定理相结合，确定点的坐标．