Question

18．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF．
（1）求证：∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试说明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据SSS证明△ABC≌△ADC得∠BAC=∠DAC，则△ABF≌△ADF，再由对顶角相等可得结论；
（2）根据平行得内错角∠BAC=∠ACD，再由（1）的结论∠BAC=∠DAC，可证得AD=CD，则四边相等，四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，理由是：证明△BCF≌△DCF，得∠CBF=∠CDF，则直角△EFD和直角△AEC有两个角对应相等，则∠EFD=∠BCD．

解答 证明：（1）在△ABC和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
又∵AF=AF
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．

点评 本题是四边形的综合题，考查了菱形、全等三角形的性质和判定；菱形常用的判定方法是：四边相等四边形是菱形．