Question

【题目】已知是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为

是上一动点，连接，且.

（1）如图①，如果，且，求的长;

（2）如图②，若点恰为这段圆弧的圆心，则线段之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当分别在直线两侧且，而其余条件

不变时，线段之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论，不必证明.

Answer 1

【答案】(1) 2；(2) （i）猜想：AB+CD=BC； （ii）当A，D分别在直线l两侧时，有如下等量关系：AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．

【解析】分析：（1）根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长，再运用勾股定理就可计算出AD的长；
（2）可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到对应线段相等，根据图形就可得到线段之间的和差关系．

详解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA．
又∵∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC=1：3 BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD===8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD==2．
（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED，AE=ED，，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．

∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．
（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．