Question

17．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若∠DAC=30°，BE=3cm，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠CAD，而BC=AC，∠E=∠CDA=90°，故有△CEB≌△ADC；
（2）由（1）可知BE=CD=3cm，在Rt△ADC中，∠DAC=30°，所以AC=6cm，由∠ACB=90°，AC=BC，可知AB=6$\sqrt{2}$cm．

解答 （1）证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∠ACB=90°，
∴∠E=∠ADC=90°，∠BCE=90°-∠ACD，∠CAD=90°-∠ACD，
∴∠BCE=∠CAD（3分）
在△BCE与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ADC}\\{∠BCE=∠CAD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CEB≌△ADC（AAS）；
（2）解：∵△CEB≌△ADC，
∴BE=CD=3cm，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴AC=2CD=6cm，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB=6$\sqrt{2}$cm．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．