Question

9．△ABC内接于⊙O中，OD⊥BC于D，若∠OBD=15°，则∠A=75°或105°．

Answer 1

分析 如图1，圆心O在△ABC内，连接OB，OC，根据等腰三角形的性质得到∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，根据三角形的内角和得到∠BOD=75°，根据圆周角定理即可得到结论；如图2，圆心O在△ABC外，连接OB，OC，设E是圆上的一点，连接BE，CE，根据等腰三角形的性质得到∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，根据三角形的内角和得到∠BOD=75°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．

解答 解：如图1，圆心O在△ABC内，连接OB，OC，
∴OB=OC，
∵OD⊥BC于D，
∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，
∵∠OBD=15°，
∴∠BOD=75°，
∴∠BOC=150°，
∴∠A=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°；
如图2，连接OB，OC，设E是圆上的一点，连接BE，CE，
∴OB=OC，
∵OD⊥BC于D，
∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，
∵∠OBD=15°，
∴∠BOD=75°，
∴∠BOC=150°，
∴∠E=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°；
∴∠A=180°-∠E=105°，
综上所述：∠A=75°或105°．
故答案为：75°或105°．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．