Question

如图，已知⊙O的半径OA=

5

，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．
（1）求cosA的值；
（2）设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理求得AD=2；然后利用三角函数值的定义求得cosA的值；
（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F．根据垂径定理求得OF=

1

2

OE=

y

2

；然后在Rt△ACF中，由三角函数值的定义求得AF=AC•cosA=

2 5

5

x，再根据图形知AF+OF=OA，据此列出函数关系式
y=2

5

-

4 5

5

x；最后求定义域；
（3）在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD=1．当⊙C与⊙O相切时，由垂径定理求得OC的长度，然后由勾股定理知CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，所以将其代入函数关系式，得到1²+（2-x）²=

5

4

；最后通过解方程知当⊙C与⊙O相切时的AC的长为

3

2

．

解答：解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=

1

2

AB=2，（1分）
∴cosA=

AD

OA

=

2

5

=

2 5

5

．（1分）

（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，
∵OE是⊙C的弦，OF=

1

2

OE=

y

2

，
在Rt△ACF中，AF=AC•cosA=

2 5

5

x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴

2 5

5

x+

y

2

=

5

．（1分）
∴函数解析式为y=2

5

-

4 5

5

x．（1分）
函数定义域为

5

4

≤x＜

5

2

．（1分）

（3）⊙C可能与⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD=

AO2-AD2

=

5-4

=1．
当⊙C与⊙O相切时，OC=

1

2

OA=

5

2

，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=

5

4

．（1分）
∴x₁=

3

2

，x2=

5

2

．（1分）
当x=

5

2

时，⊙C与OA相切于点O，不符合题意．
∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为

3

2

．（1分）

点评：本题综合考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．