【题目】如图,中,以为直径作⊙,交于点,为弧上一点,连接、、,交于点.
(1)若,求证:为⊙的切线;
(2)若,求证:平分;
(3)在(2)的条件下,若,求⊙的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)根据AB为⊙直径,得出=90°,即°,,,推出,即°,
所以==90°,得出AC为⊙的切线;(2)证明, 得到,因为,所以,即可得到AE平分;(3)过点F作FH⊥AB于H可证,可得AH=AD=4,FH=DF=2;可证故;BH=x,则BD=2x,BF=2x-2,利用勾股定理可得,;解得BH=,AB=BH+AH=,由AO=AB=,即可得⊙的半径.
(1)证明:∵AB为⊙直径,
∴=90°,
∴°,
∵,,
∴,
∴°,
即°,
∴AC为⊙的切线;
(2)证明:∵,
∴;
∵,
∴;
∴,
∵,
∴;
即AE平分.
(3)解:过点F作FH⊥AB于H.
∴°;
又∵,AF=AF,
∴;
∴AH=AD=4,FH=DF=2;
∵°,,
∴,
∴;
设BH=x,则BD=2x,BF=2x-2,
∴,
∴;
∴x=0(舍)或x=;
∴BH=,AB=BH+AH=;
∴AO=AB=;
∴⊙的半径为.
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【题目】在∠ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=.
(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,若点B恰好是线段MN的中点,求tan∠BAM的值;
(2)如图2,P是边BC延长线上一点,∠APB=∠BAC,求tan∠PAC的值.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a﹣b+c=0;④5a<b.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=6,M为EF中点,P是边AD上的一个动点,则CP+PM的最小值是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y=(x>0)的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为2,则k的值为______.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴l如图所示,则下列结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正确的结论是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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【题目】如图,抛物线经过,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在第一象限的抛物线上,且点的横坐标为,设的面积为,求与的函数关系式,并求的最大值;
(3)在轴上是否存在点,使以点,,为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出点坐标;如果不存在,请说明理由.
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