Question

设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a-b）²=P，则这样的整数对（a，b）共有

1. A.
   3对
2. B.
   4对
3. C.
   5对
4. D.
   6对

Answer 1

D
分析：因为都是整数，所以|a+b|与（a-b）²的奇偶性相同，所以P为偶数，偶数中只有2是质数，所以P=2，因为|a+b|与（a-b）²都是非负数，（a-b）²是完全平方数所以（a-b）²只能为0或者1．
解答：因为|a+b|与（a-b）²的奇偶性相同，推出|a+b|+（a-b）²=P必为偶．
在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P=2．
则|a+b|+（a-b）²=2，
可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a-b）²只有0和1两个选择：
①当（a-b）²=0，则|a+b|=2，
解得：a=b，
所以|2b|=2，|b|=1，则a=b=±1；
②（a-b）²=1，则|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
组成4个方程组：
a-b=1
a+b=1，解之得：a=1，b=0；
a-b=1
a+b=-1，解之得：a=0，b=-1；
a-b=-1
a+b=1，解之得：a=0，b=1；
a-b=-1
a+b=-1，解之得：a=-1，b=0．
综上，符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1）（-1，-1）（1，0）（0，-1）（0，1）（-1，0）．
故选D．
点评：解答本题的关键是判断出P的值，再依次推导出|a+b|和（a-b）²的值即可．