Question

9．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．
（1）当a=1，b=3，c=2时，求A、B两点及抛物线的顶点的坐标；
（2）若a：b：c=1：3：2时，A、B两点的坐标及抛物线的顶点的坐标是否发生变化？若不变，求出坐标，若变化，说明理由．
（3）当b=3，c=2时，若抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点中有且仅有一个在原点和点（1，0）之间（不含这两个点），则a的取值范围是a＜-5．

Answer 1

分析 （1）把a=1，b=3，c=2代入抛物线解析式，令y=0，求出A、B两点坐标，再把抛物线一般式化为顶点坐标式，即可求出顶点坐标；
（2）根据a：b：c=1：3：2，设a=k，b=3k，c=2k，令y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）=0，即可求出A、B两点坐标，发现顶点坐标发生变化；
（3）由b²-4ac＞0，可知a＜$\frac{9}{8}$，分析0＜a＜$\frac{9}{8}$，a＜0，由与x轴的交点中有且仅有一个在原点和点（1，0）之间（不含这两个点），可得到a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1，b=3，c=2时，y=x²+3x+2，
令y=x²+3x+2=0，
解得x=-1或x=-2，
即A、B两点为（-1，0）、（-2，0），
∵y=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
（2）若a：b：c=1：3：2，设a=k，b=3k，c=2k，
则y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）
令y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）=0，
解得x=-1或x=-2，
即A、B两点为（-1，0）、（-2，0），
y=k（x²+3x+2）=k[（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]，
∴抛物线顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$k）；
∴A、B两点的坐标不发生变化，顶点坐标发生变化；
（3）a＜-5，
当b=3，c=2时，y=ax²+3x+2，
∵b²-4ac＞0，
∴9-8a＞0，
解得：a＜$\frac{9}{8}$，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点中有且仅有一个在原点和点（1，0）之间（不含这两个点），
若0＜a＜$\frac{9}{8}$，抛物线与x轴交点均在x轴的负半轴上，与题意不符，
若a＜0，当x=1时，y＜0，即a+3+2＜0，
∴a＜-5．
故答案为：a＜-5．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点，解答本题的关键是熟练掌握把抛物线一般式化成顶点坐标式，明确二次函数与一元二次方程的关系．