Question

17．双曲线$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，点A（m，n）（m＞0）在此双曲线上，过点A作AB垂直y轴交y轴于点B，点C在线段AB上，过点C作直线CD⊥x轴于点D，交此双曲线于点P．直线PA交y轴于点E．
（1）若P（1，3），PC=2，求m的值；
（2）若AC=CP=2，且△POE的面积是2n，求此双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得C的坐标，进而求得A的纵坐标n的值，把P的坐标代入$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，利用待定系数法即可求得解析式，把A（m，1）代入求得的解析式即可求得m的值；
（2）求出P、C的坐标，求出直线AP的解析式，求出E的坐标，根据三角形面积得出关于n的方程，求出n的值，即可得出答案．

解答 解：（1）∵A（m，n），P（1，3），PC=2，
∴C（1，1），
∵AB⊥y轴，
∴A的纵坐标为1，
∴n=1，
∵P在双曲线上，
∴k=1×3=3，
∵A在双曲线上，
∴m×1=k=3，
∴m=3；

（2）∵A（m，n），
∴C（m-2，n），P（m-2，n+2），
∵A在双曲线上，
∴mn=k，
∵P在双曲线上，
∴（m-2）（n+2）=k，
∴mn+2m-2n-4=k，
∴m=n+2，
∴直线AP的解析式是y-n=-x+n+2，
当x=0时，y=2n+2，
∴E的坐标是（0，2n+2），
∵△OPE的面积是2n，
∴$\frac{1}{2}$（2n+2）（n+2-2）=2n，
解得：n=1，n=0（舍去），
∴m=3，
∴k=mn=3，
即此双曲线的解析式是y=$\frac{3}{x}$．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．