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【题目】如图,已知抛物线y=x2图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧).若C(m,1m)是抛物线上位于第四象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),过点D分别作DEBC交AC于E,DFAC交BC于F.

(1)求点A和点B的坐标;

(2)求证:四边形DECF是矩形;

(3)连接EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)1,0),(4,0);(2)证明过程见解析;(3)2.

【解析】

试题分析:(1)、根据抛物线的解析式来求点A、B的坐标即可;(2)、欲证明四边形DECF是矩形,只需证得四边形DECF是平行四边形且有一内角为直角即可;(3)、连接CD,根据矩形DECF的对角线相等得到:EF=CD.当CDAB时,CD的值最小,即EF的值最小.

试题解析:(1)、当y=0时,x2=0, 解方程,得 x1=1,x2=4. 点A在点B的左侧,

点A、B的坐标分别是(1,0),(4,0);

(2)、把C(m,1m)代入y=x2得:-2=1-m 解方程,得m=3或m=2.

点C位于第四象限, m>0,1m<0,即m>1, m=2舍去, m=3,

点C的坐标为(3,2). 过点C作CHAB于H,则AHC=BHC=90°

由A(1,0),B(4,0),C(3,2)得到:AH=4,CH=2,BH=1,AB=5, =2.

∵∠AHC=CHB=90°∴△AHC∽△CHB, ∴∠ACH=CBH. ∵∠CBH+BCH=90°

∴∠ACH+BCH=90° ∴∠ACB=90° DEBC,DFAC, 四边形DECF是平行四边形,

平行四边形DECF是矩形;

(3)、存在.理由如下: 连接CD. 平行四边形DECF是矩形, EF=CD.

当CDAB时,CD的值最小. C(3,2), DC的最小值是2, EF的最小值是2.

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