Question

【题目】如图，在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F．

（1）试说明四边形AECF为平行四边形；

（2）探索：当矩形ABCD的边AB和BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形AECF为菱形.

【解析】

（1）先证明，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证.（2）逆向推理，当四边形AECF为菱形时，则有EA=EC，进而可得到∠EAC=∠ACE=30°，

所以可知.

（1）证明：在矩形ABCD中，

AD∥BC,AB∥CD，

∴ ,

∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，

∴,,

∴,

∴AE∥CF,

又AF∥CE,

∴四边形AECF为平行四边形.

（2）当时，四边形AECF为菱形.理由如下：

在Rt△ABC中，，

则∠BAC=60°，∠BCA=30°，

∵AE平分∠BAC，

∴=30°，

∴∠EAC=∠ACE=30°，

∴EA=EC,

又由（1）已证，四边形AECF为平行四边形，

∴四边形AECF为菱形.

即，当时，四边形AECF为菱形.