Question

【题目】如图，AB＝12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连接PQ，则PQ的最小值是（　　）

A. 3B. 4C. 5D. 6

Answer 1

【答案】D

【解析】

分别延长AP、BQ交于点D，易证四边形CPDQ为平行四边形，得出PD+DQ＝PC+CQ＝AC+BC＝12，作△ABD的中位线MN，则MD＝DN＝MN＝AB，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD＝DN＝MN＝AB，进而求得MD+DN＝PD+DQ，得出PM＝QN，作PE⊥MN，QF⊥MN，则PE∥QF，然后证得△PME≌△QNF，从而证得MN＝EF，根据平行线间的距离得出PQ≥EF，从而求得PQ的最小值．

解：如图，分别延长AP、BQ交于点D，

∵∠A＝∠QCB＝60°，

∴AD∥CQ，

∵∠B＝CPCA＝60°，

∴BD∥PC，

∴四边形CPDQ为平行四边形，

∴PD＝CQ，PC＝DQ，

∴PD+DQ＝PC+CQ＝AC+BC＝12，

作△ABD的中位线MN，则MD＝DN＝MN＝AB，

∴MD+DN＝AB＝12，

∴MD+DN＝PD+DQ，

∴PM＝QN，

作PE⊥MN，QF⊥MN，

∴PE∥QF，

∴∠PEM＝∠QFN＝90°，且∠PME＝∠QNF＝60°，PM＝QN

∴△PME≌△QNF（AAS），

∴EM＝FN，

∴MN＝EF，

∴PQ≥EF，

∴C是线段AB的中点时，PQ的值最小，最小值为AB＝6．

故选：D．