【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,直径AB=10.sinA=,点D为线段AC上一动点(不运动至端点A、C),作DF⊥AB于F,连结BD,井延长BD交⊙O于点H,连结CF.
(1)当DF经过圆心O时,求AD的长;
(2)求证:△ACF∽△ABD;
(3)求CFDH的最大值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)当x=4时,CFDH的最大值为
【解析】
(1)由AB是直径知∠ACB=90°,依据三角函数求出BC=6,由勾股定理求出AC=8,由AB⊥DE知∠AFD=∠ACB=90°,结合∠A为公共角可证△ADF∽△ABC,得出对应边成比例,即可求出AD的长;
(2)由△ADF∽△ABC知,结合∠A为△ACF和△ABD的公共角可证△ACF∽△ABD;
(3)连接CH,先证△ACH∽△HCD得出比例式,即CFDH=CDAF,再设AD=x,则CD=8﹣x,AF=x,从而得出CFDH=﹣
(x﹣4)2+
,利用二次函数的性质求解可得.
(1)当DF经过圆心O时,AF=OA=5,
∵AB为直径,AB=10,
∴∠ACB=90°,
∴sinA=,
∴BC=6,
由勾股定理得:,
∵AB⊥DE,
∴∠AFD=∠ACB=90°,
∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ABC,
∴,
∴;
(2)证明:由(1)得:△ADF∽△ABC,
∴,即
,
又∵∠A为△ACF和△ABD的公共角,
∴△ACF∽△ABD;
(3)连接CH,如图所示:
由(2)知△ACF∽△ABD,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠ABD=∠ACH,
∴∠ACH=∠ACF,
又∵∠CAF=∠H,
∴△ACH∽△HCD,
∴,即CFDH=CDAF,
设AD=x,则CD=8﹣x,AF=x,
∴CFx(8﹣x)=﹣
x2+
x=﹣
(x﹣4)2+
,
∴当x=4时,CFDH的最大值为.
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【题目】如图①,AB是⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,点M为上一动点(不包括A,B两点),射线AM与射线EC交于点F.
(1)如图②,当F在EC的延长线上时,求证:∠AMD=∠FMC.
(2)已知,BE=2,CD=8.
①求⊙O的半径;
②若△CMF为等腰三角形,求AM的长(结果保留根号).
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【题目】如图,AB=12,C是线段AB上一点,分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ,连接PQ,则PQ的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,∠A=120°,点E是BC边的中点,点P是对角线BD上一动点,设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点,则a+b的值为( )
A.7B.
C.
D.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求证:AD是⊙O的切线.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半径.
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【题目】下表是2019年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况:
用水量/吨 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
户数 | 2 | 4 | m | 4 | 3 | 0 | 1 |
(1)求出m= ,补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图;
(2)据上表中有关信息,计算或找出下表中的统计量,并将结果填入表中:
(3)为了倡导“节约用水,绿色环保”的意识,台州市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”,价格表如下:
如果该小区有500户家庭,根据以上数据,请估算该小区三月份有多少户家庭在ⅠI级标准?并估算这些级用水户的总水费是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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【题目】已知抛物线上有两点M(m+1,a)、N(m,b).
(1)当a=-1,m=1时,求抛物线的解析式;
(2)用含a、m的代数式表示b和c;
(3)当a<0时,抛物线满足
,
,
,
求a的取值范围.
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