Question

【题目】如图①，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，点M为上一动点（不包括A，B两点），射线AM与射线EC交于点F．

（1）如图②，当F在EC的延长线上时，求证：∠AMD＝∠FMC．

（2）已知，BE＝2，CD＝8．

①求⊙O的半径；

②若△CMF为等腰三角形，求AM的长（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5；②8或

【解析】

（1）想办法证明∠AMD＝∠ADC，∠FMC＝∠ADC即可解决问题；

（2）①在Rt△OCE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；

②分两种情形讨论求解即可.

解：（1）证明：如图②中，连接AC、AD．

∵AB⊥CD，

∴CE＝ED，

∴AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC，

∵∠AMD＝∠ACD，

∴∠AMD＝∠ADC，

∵∠FMC+∠AMC＝180°，∠AMC+∠ADC＝180°，

∴∠FMC＝∠ADC，

∴∠FMC＝∠ADC，

∴∠FMC＝∠AMD．

（2）解：①如图②﹣1中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+EC2，

∴r2＝（r﹣2）2+42，

∴r＝5．

②∵∠FMC＝∠ACD＞∠F，

∴只有两种情形：MF＝FC，FM＝MC．

如图③中，当FM＝FC时，易证明CM∥AD，

∴，

∴AM＝CD＝8．

如图④中，当MC＝MF时，连接MO，延长MO交AD于H．

∵∠MFC＝∠MCF＝∠MAD，∠FMC＝∠AMD，

∴∠ADM＝∠MAD，

∴MA＝MD，

∴，

∴MH⊥AD，AH＝DH，

在Rt△AED中，AD＝，

∴AH＝，

∵tan∠DAE＝，

∴OH＝，

∴MH＝5+，

在Rt△AMH中，AM＝．