Question

【题目】已知抛物线与x轴交于点A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求出抛物线的函数表达式；

（2）设点E时抛物线上一点，且S△ABE=S△ABC，求tan∠ECO的值；

（3）点P在抛物线上，点Q在抛物线对称轴上，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P坐标。

Answer 1

【答案】（1）y=；（2） ；（3）（4,5）；（-2,5）（2,-3）；

【解析】

（1）利用抛物线的对称轴方程可计算出b=-2，再把C（0，-3）代入抛物线解析式可得到c=-3，所以抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；
（2）先求得S△ABC=6，然后求得S△ABE=S△ABC=10，进而求得E的纵坐标，代入抛物线的解析式求得E的坐标，过点E作EF⊥y轴于点F，然后在Rt△EOF中，利用正切的定义求解即可；
（3）此题应分两种情况讨论：
①BC为平行四边形的边；那么将点Q向左或向右平移BC长，即可得到点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中求解即可；
②BC为平行四边形的对角线；则P的横坐标为2，再代入抛物线的解析式中求解即可．

解：（1）∵抛物线交y轴于点C，
∴c=-3
又∵对称轴是x=1，
∴=1，解得b=-2，
∴抛物线表达式为：y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点
∴A（-1，0）B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S△ABC=ABOC=6，
设点E（x，y）
∵S△ABE=S△ABC，
∴S△ABE=10，
∴S△ABE=AB|yE|=10，
即：|y|=5，
∵点E在抛物线上
∴x2-2x-3=5或x2-2x-3=-5，
解得：x=4或x=-2，
∴点E（4，5）或E（-2，5），
过点E作EF⊥y轴于点F，如图1，

∴EF=4或2，CF=8，
在Rt△EOF中，tan∠ECO=，
∴tan∠ECO=或tan∠ECO=．
（3）由抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，yQ），如图2，

则有：
①若BC为边，
∵B（3，0），C的横坐标与Q的横坐标的差为1，
∴P与B的横坐标的差为1，
∵和B的横坐标的差为2，
∴P的横坐标为4或-2，
则：P（4，yP）或（-2，yP），
把x=4代入抛物线的解析式中，得：y=42-2×4-3=5，
把x=-2代入抛物线的解析式中，得：y=（-202-2×（-2）-3=5，
∴P1（4，5），P2（-2，5）；
②若BC为对角线，则P（2，yP），代入抛物线的解析式中，可得：P（2，-3）．
综上，存在符合条件的点P，坐标为（4，5）或（-2，5）或（2，-3）．