Question

如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；
（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；
②设点A（x₁，x₁²-1），B（x₂，x₂²-1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁•₂，并求出x₁²+x₂²，x₁²•x₂²，然后代入进行计算即可得解．
解答：（1）解：∵抛物线y=ax²+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x²-1；

（2）证明：设点A的坐标为（m，m²-1），
则AO==m²+1，
∵直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，
∴点M的纵坐标为-2，
∴AM=m²-1-（-2）=m²+1，
∴AO=AM；

（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0-（-2）=2，
∴+=+=1；

②k取任何值时，设点A（x₁，x₁²-1），B（x₂，x₂²-1），
则+=+==，
联立，
消掉y得，x²-4kx-4=0，
由根与系数的关系得，x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16k²+8，
x₁²•x₂²=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．