Question

【题目】观察下列各式．

①4×1×2+1=(1+2)2；②4×2×3+1=(2+3)2；③4×3×4+1=(3+4)2…

(1)根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？

(2)试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．

(3)利用前面的规律，将4(x2+x)(x2+x+1)+1因式分解．

Answer 1

【答案】(1)4×2016×2017+1=40332；(24n(n+1)+1=(2n+1)2；(3)4(x2+x)(x2+x+1)+1=(x+1)4．

【解析】

（1）根据已知的三个等式，发现规律：等式左边是序号数与比序号数大1的两个正整数积的4倍与1的和，等式右边是序号数与比序号数大1的两个正整数的和的平方，由此得出4×2016×2017+1可以看成2016与2017这两个正整数的和的平方；

（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1=（n+n+1）2=（2n+1）2，运用多项式的乘法法则计算验证即可；

（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1=（x2+x+x2+x+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．

(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017)2=40332；

(2)猜想第n个等式为4n(n+1)+1=(2n+1)2，理由如下：

∵左边=4n(n+1)+1=4n2+4n+1，右边=(2n+1)2=4n2+4n+1，

∴左边=右边，

∴4n(n+1)+1=(2n+1)2；

(3)利用前面的规律，可知4(x2+x)(x2+x+1)+1=(x2+x+x2+x+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4．