Question

求证：a取任何实数时，关于x的方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根．

Answer 1

分析：分类讨论：当a=0时，原方程化为-x-1=0，解得x=-1；当a≠0时，计算根的判别式得到△=（a-1）²，则△≥0，所以方程有两个实数根．

解答：证明：当a=0时，-x-1=0，解得x=-1；
当a≠0时，△=[-（1-3a）]²-4a•（2a-1）
=（a-1）²，
∵（a-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程有两个实数根，
所以a取任何实数时，关于x的方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．