Question

13．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P'分别是 EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（　　）

• A． 28$\sqrt{3}$
• B． 24$\sqrt{3}$
• C． 32$\sqrt{3}$
• D． 32$\sqrt{3}$-8

Answer 1

分析 如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．首先证明四边形PP′CD是平行四边形，再证明DF⊥PP′，求出DH即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．

由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，
∴四边形PP′CD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AF=FB，
∴DF⊥AB，DF⊥PP′，
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，
∴AE=2，EF=2$\sqrt{3}$，
∴PE=PF=$\sqrt{3}$，
在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF=$\sqrt{3}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DF=4$\sqrt{3}$，
∴DH=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴平行四边形PP′CD的面积=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$×8=28$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．