Question

5．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；
（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，

解答 解：
（1）∵CD∥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为x=1．
∴$-\frac{b}{2}=1，b=-2$．
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c，0），
∴0=c²+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3；

（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴E（1，-4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6．
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，即点F的坐标为（0，-2）；

（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n²+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△_PQN=S_△APM，
∴$\frac{1}{2}（{n+1}）（{3-n}）=\frac{1}{2}（{-{n^2}+2n+3}）•QR$，
∴QR=1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，n²-4n），R点的坐标为（n，n²-4n），N点的坐标为（n，n²-2n-3）．
∴在Rt△QRN中，NQ²=1+（2n-3）²，
∴$n=\frac{3}{2}$时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为$（{\frac{1}{2}，-\frac{15}{4}}）$；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n²-4）．
同理，NQ²=1+（2n-1）²，
∴$n=\frac{1}{2}$时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为$（{\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}}）$．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为$（{\frac{1}{2}，-\frac{15}{4}}）$或$（{\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}}）$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．