Question

用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）BE=CF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）BE=CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，
∴∠ACE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF．

（3）能．
△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，
∵△AEC的面积等于，
∴底边CE=2，
∴BE=6．
分析：（1）根据图形中BE、CF的长度可以直接得出BE=CF的结论，当然也可以通过证明△ABE≌△ACF得出结论．
（2）可以通过证明△ACE≌△ADF，得出结论，由AB=AC、∠B=∠ACF，再利用等式的性质可得出∠BAE=∠CAF，从而利用AAS可证得全等．
（3）首先确定△AEC的高为等边△ABC的高，为2，要使△AEC的面积等于，只需使底边CE=2即可．
点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质及全等三角形的判定，注意在含有三角形的图形中，线段的相等一般都会转化为三角形的全等的证明，三角形全等的判定是中考的热点，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．