Question

13．如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点E，F．
（1）求证：EF=AB•cosC；
（2）若S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AF，根据圆内接四边形的性质得到∠CEF=∠B，∠C=○C，推出△CEF∽△CBA，根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，求得∠AFC=90°，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到cosC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AF，
∵∠CEF=∠B，∠C=○C，
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFC=90°，
∴cosC=$\frac{CF}{AC}$，
即cosC=$\frac{EF}{AB}$，
∴EF=AB•cosC；

（2）解：∵△CEF∽△CBA，S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠C=60°．

点评 本题主要考查对相似三角形的性质，圆周角定理，邻补角的定义，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用相似三角形的性质和圆周角定理进行证明是解此题的关键．