Question

3．若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，有下列结论：
①x₁=2，x₂=3；②m＞-$\frac{1}{4}$；③x₁＜2＜3＜x₂，
其中一定成立的结论有②．

Answer 1

分析 ①这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
②将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；
③当m=0时，x₁=2，x₂=3，故③错误．

解答 解：当m=0时，x₁=2，x₂=3，故③错误；
当m≠0时，x₁≠2，x₂≠3，故①错误；
∵方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{4}$，故选项②正确．
故答案为：②．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，以及根的判别式的运用，根据m的取值进行讨论是解题的关键．