Question

14．如图，已知点A、B、C在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形．则在下列结论中：①AP=DQ，②EP=EC，③PQ=PB，④∠AOB=∠BOC=∠COE．正确的结论是①③④（填写序号）．

Answer 1

分析 易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE=∠BDC，从而可证到△ABP≌△DBQ，则有AP=DQ，BP=BQ，由∠PBQ=60°可得△BPQ是等边三角形，则有PQ=PB．∠BPQ=60°，从而可得∠EPB＞∠EBP，即可得到EB＞EP，即EC＞EP，由△ABE≌△DBC可得S_△ABE=S_△DBC，AE=DC，从而可得点B到AE、DC的距离相等，因而点B在∠AOC的角平分线上，即可得到∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

解答 解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BD=BA=AD，BE=BC=EC，∠ABD=∠CBE=60°，
∵点A、B、C在同一直线上，
∴∠DBE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°．
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ，
∴AP=DQ，BP=BQ．
∴①正确．
∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=PB．∠BPQ=60°．
∴③正确．
∵∠EPB＞∠BPQ，∠BPQ=∠EBP=60°，
∴∠EPB＞∠EBP，
∴EB＞EP，
∴EC＞EP，
∴②不正确．
∵∠DPA=∠PDO+∠DOP，∠DPA=∠PAB+∠ABP，∠PDO=∠PAB，
∴∠DOP=∠ABP=60°，
∴∠COE=60°，∠AOC=120°．
∵△ABE≌△DBC，
∴S_△ABE=S_△DBC，AE=DC，
∴点B到AE、DC的距离相等，
∴点B在∠AOC的角平分线上，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．
∴④正确．
故答案为①③④．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的判定、大角对大边等知识，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，得到OB是∠AOC的角平分线，是证明④的关键．