Question

10．如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线的对称轴上存在一点P，使得PB+PC的值最小，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 将点C的坐标代入抛物线的解析式，从而可求得k=-4，然后利用y=0，求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，最后令x=-1可求得

解答 解：如图所示：连接AC，交x=-1与点P．

∵抛物线的解析式为：y=（x+1）²+k，
∴抛物线的对称轴为x=-1．
∵点A与点B关于x=-1对称，
∴PA=PB．
当点A、P、C在一条直线上时，PB+PC有最小值．
将x=0，y=-3代入函数的解析式得：1²+k=-3．
解得：k=-4．
∴抛物线的解析式为y=（x+1）²-4．
令y=0得；（x+1）²-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=1．
∴点A的坐标为（-3，0）．
设AC的解析式为y=kx-3，将点A的坐标代入得：-3k-3=0．
解得：k=-1．
∴AC的解析式为y=-x-3．
将x=-1代入得：y=-（-1）-3=1-3=-2．
∴点P的坐标为（-1，-2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质、轴对称路径最短问题，明确点A、P、C在一条直线上时，PB+PC有最小值是解题的关键．