Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10。

（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（1）求△EFG的面积； （2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（2）证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长。

Answer 1

解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形， ∴GH=AB=8，AH=BG=10， 由图形的折叠可知△BFG≌△EFG， ∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°； ∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠HEG=∠AFE， 又∵∠EHG=∠A=90°， ∴△EAF∽△EHG， ∴， ∴EF=5， ∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25； （2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF， ∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF， ∵EF∥BG， ∴∠BGF=∠EFG， ∴∠EGF =∠EFG， ∴EF=EG， ∴BG=EF， ∴四边形BGEF为平行四边形， 又∵EF=EG， ∴平行四边形BGEF为菱形； 连结BE，BE、FG互相垂直平分， 在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8， 由勾股定理可得FH=AF=6， ∴AE=16， ∴BE==8， ∴BO=4， ∴FG=2OG=2=4。