Question

3．若BM为△ABC的中线，则sin∠CBM=$\frac{4}{5}$，sin∠ABM=$\frac{12\sqrt{73}}{365}$．

Answer 1

分析 由已知条件得到AC=2AM=2CM=8，CM=4，根据勾股定理得到BM=$\sqrt{C{M}^{2}+B{C}^{2}}$=5，由正弦的定义即可得到结果，过M作MD⊥AB于D，由勾股定理求得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{73}$，通过△ADM∽△ABC，列比例式得到DM=$\frac{12\sqrt{73}}{73}$，即可得到结论．

解答 解：∵BM为△ABC的中线，
∴AC=2AM=2CM=8，CM=4，
∵∠C=90°，
∴BM=$\sqrt{C{M}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴sin∠CBM=$\frac{CM}{BC}=\frac{4}{5}$，
过M作MD⊥AB于D，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∵∠ADM=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADM∽△ABC，
∴$\frac{DM}{BC}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{DM}{3}=\frac{4}{\sqrt{73}}$，
∴DM=$\frac{12\sqrt{73}}{73}$，
∴sin∠ABM=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{\frac{12\sqrt{73}}{73}}{5}$=$\frac{12\sqrt{73}}{365}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$，$\frac{12\sqrt{73}}{365}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．