Question

【题目】已知⊙是△的外接圆，是⊙的直径，是延长线上的一点，交的延长线于,交⊙于,于,点是弧的中点.

⑴求证：是⊙的切线；

⑵若是一元二次方程的两根，求和的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE＝，AG＝4

【解析】

(1)连接，由，，得：，从而得：∥，进而得到：，即可得证；

(2)易得：，由CAF~BCF，得：，进而得：，进而求得CE的长，由△≌△(HL)，得：，由△≌△(HL)，得，进而求出AG的长.

⑴.证明：连接，如图1，

∵，

∴，

∵点是弧的中点，即，

∴，

∴，

∴∥，

∴ ，

∵，

∴， 即，

又∵是⊙的半径，

∴是⊙的切线.

⑵解一元二次方程的两根为：，

∵ ，

∴，

∵是⊙的直径，

∴ ，

∵，

∴ ，

∵∠CAF+∠ACF=90°，∠ACF+∠BCF=90°,

∴∠CAF=∠BCF，

∴CAF~BCF，

∴，即：，

∴，

∵ ，且，，

∴，

∵，

∴△≌△(HL)，

∴，

连接，如图2，

∵点是弧的中点，即，

∴，

∵，

∴△≌△(HL)，

∴，

∴.

图1 图2