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【题目】中,边上一动点(点与点不重合),联结,过点交边于点

1)如图,当时,求的长;

2)设,求关于的函数解析式并写出函数定义域;

3)把沿直线翻折得,联结,当是等腰三角形时,直接写出的长.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)过EEMABM,构建“一线三垂直”,即证△ACD∽△MDE,利用相似三角形对应边成比例列比例式,再结合等腰三角形性质求解;

2)作ENABN,用三角函数将线段ENBNy表示,再根据△ACD∽△NDE列出比例式,将比例式变形求解;

3)作BHAB,ABAB延长线于点H,BGAC,交CA延长线于G,构建直角三角形,先结合RtAGBRtCGB,利用勾股定理求出AGGB长,再结合RtABHRtDBH,利用勾股定理列含x的方程,即可求解.

解:(1)如图,过EEMAB,垂足为M,

RtCAB中,AC=3AB=4,∴tanB= ,

ED=EB,

DM=BM,

AD=x,DM=BM= ,

EM= ,

∵∠CDE=A=EMD=90°,

∴∠EDM+ADC=90°, ACD+ADC=90°,

∴∠ACD=EDM,

∴△ACD∽△MDE,

,

,

(不符合题意,舍去).

.

2)如图,过EENAB,垂足为N,

RtCAB中,AC=3AB=4,由勾股定理得BC=5,

sinB= ,cosB= ,tanB= ,

EN= ,BN=,

DN=

∵∠CDE=A=END=90°,

∴∠EDN+ADC=90°, ACD+ADC=90°,

∴∠ACD=EDN,

∴△ACD∽△NDE,

,

,

3)如图,过BBHAB,ABAB延长线于点H,BGAC,交CA延长线于G

由折叠可得CB=CB=5BD=BD=x

是等腰三角形,

AC=AB=3

AG=mBG=n,由勾股定理得,

m2+n2=32(m+3)2+n2=52

解得,m= n= ,

BH=AH=,

第一种情况:在RtBHD中,由勾股定理得,

解得,x=

AD=

第二种情况:在RtBHD中,由勾股定理得,

解得,x=

AD=

AD=.

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