【题目】在中,,为边上一动点(点与点不重合),联结,过点作交边于点.
(1)如图,当时,求的长;
(2)设,求关于的函数解析式并写出函数定义域;
(3)把沿直线翻折得,联结,当是等腰三角形时,直接写出的长.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)过E作EM⊥AB于M,构建“一线三垂直”,即证△ACD∽△MDE,利用相似三角形对应边成比例列比例式,再结合等腰三角形性质求解;
(2)作EN⊥AB于N,用三角函数将线段EN,BN用y表示,再根据△ACD∽△NDE列出比例式,将比例式变形求解;
(3)作BH⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作BG⊥AC,交CA延长线于G,构建直角三角形,先结合Rt△AGB和Rt△CGB,利用勾股定理求出AG,GB长,再结合Rt△ABH和Rt△DBH,利用勾股定理列含x的方程,即可求解.
解:(1)如图,过E作EM⊥AB,垂足为M,
在Rt△CAB中,AC=3,AB=4,∴tanB= ,
∵ED=EB,
∴DM=BM,
设AD=x,则DM=BM= ,
∴EM= ,
∵∠CDE=∠A=∠EMD=90°,
∴∠EDM+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,
∴∠ACD=EDM,
∴△ACD∽△MDE,
∴ ,
∴ ,
∴ ,(不符合题意,舍去).
即.
(2)如图,过E作EN⊥AB,垂足为N,
在Rt△CAB中,AC=3,AB=4,由勾股定理得BC=5,
∴sinB= ,cosB= ,tanB= ,
∴EN= ,BN=,
∴DN=
∵∠CDE=∠A=∠END=90°,
∴∠EDN+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,
∴∠ACD=EDN,
∴△ACD∽△NDE,
∴ ,
∴ ,
∴
(3)如图,过B作BH⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作BG⊥AC,交CA延长线于G,
由折叠可得CB=CB=5,BD=BD=x,
∵是等腰三角形,
∴AC=AB=3,
设AG=m,BG=n,由勾股定理得,
m2+n2=32,(m+3)2+n2=52,
解得,m= ,n= ,
∴BH=,AH=,
第一种情况:在Rt△BHD中,由勾股定理得,
解得,x=
即AD=;
第二种情况:在Rt△BHD中,由勾股定理得,
解得,x=
即AD=;
∴AD=.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
(3)若M为抛物线对称轴上一动点,使得△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.
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【题目】如图所示,可以自由转动的转盘被3等分,指针落在每个扇形内的机会均等.
(1)现随机转动转盘一次,停止后,指针指向2的概率为 ;
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.
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【题目】如图①,四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形,点E,G分别在边CD,CB上,点F在AC上,AB=3,BC=4
(1)求的值;
(2)把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置,P为AF,BG的交点,连接CP
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判断CP与AF的位置关系,并说明理由.
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【题目】已知⊙是△的外接圆,是⊙的直径,是延长线上的一点,交的延长线于,交⊙于,于,点是弧的中点.
⑴求证:是⊙的切线;
⑵若是一元二次方程的两根,求和的长.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.
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【题目】万州区初中数学教研工作坊到重庆某中学开展研讨活动,先后乘坐甲、乙两辆汽车从万州出发前往相距250千米的重庆,乙车先出发匀速行驶,一段时间后,甲车出发匀速追赶,途中因油料不足,甲到服务区加油花了6分钟,为了尽快追上乙车,甲车提高速度仍保持匀速行驶,追上乙车后继续保持这一速度直到重庆,如图是甲、乙两车之间的距离s(km),乙车出发时间t(h)之间的函数关系图象,则甲车从万州出发到重庆共花费了_____小时.
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