Question

19．如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与x轴交于点A，与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）求△OPA的面积．
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴，交线段OP或线段PA于点F，FB⊥y轴于点B，设运动时间为t（秒），长方形OEFB与△OPA重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据解方程组，可得两直线的交点坐标；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：0≤t≤3时，根据相似三角形的性质，可得EF的长，根据三角形的面积公式，可得答案；3＜t＜4时，根据相似三角形的性质，可得GE的长，根据面积的和差，可得答案．

解答 解：（1）联立直线y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
即P（3，$\sqrt{3}$）；
（2）当y=0时，-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$=0，解得x=4，即A（4，0）
S_△POA=$\frac{1}{2}$OA•PH=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
（3）当0≤t≤3时，如图1：
，
$\frac{OE}{OH}$=$\frac{EF}{PH}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{EF}{\sqrt{3}}$，EF=$\frac{\sqrt{3}t}{3}$，
长方形OEFB与△OPA重叠部分的面积为△OEF，
S=$\frac{1}{2}$OE•EF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}t}{3}$=$\frac{\sqrt{3}{t}^{2}}{6}$；
当3＜t＜4时，如图2：
，
OH=3，AH=4-3=1，AE₁=4-t，PH=$\sqrt{3}$，
$\frac{EG}{PH}$=$\frac{A{E}_{1}}{AH}$，即$\frac{EG}{\sqrt{3}}$=$\frac{4-t}{1}$，
EG=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
S=S_△OPH+S_梯形GEHP=$\frac{1}{2}$OH•PH+（GE₁+PH）•EH÷2
=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$+（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$）×（t-3）÷2
=-$\sqrt{3}$t²+8$\sqrt{3}$t-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}（0≤t≤3）}\\{-\sqrt{3}{t}^{2}+8\sqrt{3}t-\frac{27\sqrt{3}}{2}（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用解方程组得出交点坐标；（2）利用相似三角形的性质得出三角形的高是解题关键；（3）利用图形分割法得出规则图形是解题关键．