Question

【题目】如图，一伞状图形，已知∠AOB＝120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP＝2，∠MPN＝60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．

（1）如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系．

（2）如图二，将∠MPN在（1）的情形下绕点P逆时针旋转a度（0＜a＜60°），继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．

Answer 1

【答案】（1）PE＝PF；（2）.

【解析】

（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；
（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，

∴∠POF＝60°，

∵∠MPN＝60°，∴MPN＝∠FOP＝60°，∴△PEF是等边三角形，

∴PE＝PF；

（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，

∵OP平分∠AOB，

∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，

∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，

∴∠QPE+∠FPH+∠EPH， ∴∠QPE＝∠EPF，

在△QPE与△HPF中

，

∴△QPE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF，

S四边形OEPF＝S四边形OQPH，

∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，

∴OQ＝1，QP＝＝，∴S△OPQ＝×1×＝，

∴四边形OEPF的面积＝2S△OPQ＝