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【题目】如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.
(1)试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2)求证:∠ACF=90°;
(3)连接AF,过A、E、F三点作圆,如图2,若EC=4,∠CEF=15°,求 的长.

【答案】
(1)解:BE=FH.

证明:∵∠AEF=90°,∠ABC=90°,

∴∠HEF+∠AEB=90°,∠BAE+∠AEB=90°,

∴∠HEF=∠BAE,

在△ABE和△EHF中,

∴△ABE≌△EHF(AAS)

∴BE=FH


(2)解:由(1)得BE=FH,AB=EH,

∵BC=AB,

∴BE=CH,

∴CH=FH,

∴∠HCF=45°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ACB=45°,

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°


(3)解:由(2)知∠HCF=45°,∴CF= FH.

∠CME=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°.

如图2,过点C作CP⊥EF于P,则CP= CF= FH.

∵∠CEP=∠FEH,∠CPE=∠FHE=90°,

∴△CPE∽△FHE.

,即

∴EF=4

∵△AEF为等腰直角三角形,∴AF=8.

取AF中点O,连接OE,则OE=OA=4,∠AOE=90°,

的弧长为: =2π.


【解析】(1)利用ABE≌△EHF求证BE=FH,(2)由BE=FH,AB=EH,推出CH=FH,得到∠HCF=45°,由四边形ABCD是正方形,所以∠ACB=45°,得出∠ACF=90°,(3)作CP⊥EF于P,利用相似三角形△CPE∽△FHE,求出EF,利用公式求出 的长.

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B.①③⑤⑥
C.②③④⑥
D.①③④⑤

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时间(小时)

划记

人数

所占百分比

正正正

正正正

正正

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