Question

如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB=CE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AH=CH，求tan∠BAC的值．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OE．欲证CD为⊙O的切线，只需证明OE⊥CD即可；
（2）延长BE交AD于F，连OD、OC、AE，构建全等三角形：△AHF≌△CHB；求得BC=2AD，然后根据△AOD∽△BCO，求得AB=2

2

AD即可．

解答：
解：（1）证明：连接OE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）延长BE交AD于F，连OD、OC、AE．
∵DA、DC、为⊙O的切线，
∴DA=DE，
∴OD垂直平分AE，
∵OA=OB，
∴OD∥BE，
∴AD=DF，
即AF=2AD，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AF∥BC，
在△AHF与△CHB中

AH=CH ∠F=∠HBC ∠AHF=∠CHB

，
∴△AHF≌△CHB（AAS）
∴AF=BC，
设AD=a，
∴BC=2a，
∵OD平分∠AOE，OC平分∠BOE，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∵∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BOC，
∵∠OAD=∠CBO=90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴

AD

OA

=

OB

BC

，
∴

AD

OA

=

OA

2AD

，
∴2AD²=OA²，
∴

2

AD=OA，
∴AB=2

2

AD，
∴tan∠BAC=

BC

AB

=

2AD

2 2 AD

=

2

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角；直径所对的圆周角是直角，运用相似三角形的判定与性质进行计算．