Question

已知抛物线y=x²-（a+b）x+

c2

4

，其中a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，且∠PQR=α，tanα=

5

，若△ABC的周长为10，求抛物线的解析式；
（3）设直线y=ax-bc与抛物线y=x²-（a+b）x+

c2

4

交于点E、F，与y轴交于点M，且抛物线对称轴为x=a，O是坐标原点，△MOE与△MOF的面积之比为5：1，试判断△ABC的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴有两个不同的交点，令y=0，那么得出的方程的△必大于0，已知了a、b、c是三角形的三边，可根据三角形三边关系进行求解．
（2）设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，根据α的正切值可得出

RD

QD

=

5

，根据抛物线的解析式可得出顶点R的坐标，即可得出RD的值，然后根据韦达定理表示出PQ的长，进而可得出QD的表达式，根据α的正切值和a+b+c=10即可求出抛物线的解析式．
（3）由于△MOE与△MOF等底，因此面积比等于高的比．即两三角形的面积比等于E、F的横坐标的比．可先表示出E、F的横坐标，然后根据横坐标比为5：1求出a、b、c的关系，进而可判断出△ABC的形状．

解答：（1）证明：y=x²-（a+b）x+

c2

4

△=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）（1分）
∵a，b，c为三角形三条边
∴a+b+c＞0，a+b＞c，a+b-c＞0
∴△＞0
∴抛物线与x轴必有两个不同交点（2分）

（2）解：设对称轴与x轴交点为D
R（

a+b

2

，

c2-(a+b)2

4

），
∴RD=

(a+b)2-c2

4

∵PQ=|x₁-x₂|=

(a+b)2-c2

，DQ=

(a+b)2-c2

2

，tanα=

RD

DQ

=

(a+b)2-c2

2 (a+b)2-c2

=

5

∴

(a+b)2-c2

=2

5

，
∴（a+b）²-c²=20
∵△ABC周长为10，
∴a+b=10-c，（10-c）²-c²=20，c=4，a+b=6
∴y=x²-6x+4

（3）解：y=x²-（a+b）x+

c2

4

对称轴x=

a+b

2

=a，
∴a=b；
求交点横坐标：

y=x2-2ax+ c2 4 y=ax-ac

解之得：x²-3ax+ac+

c2

4

=0
∴x=

3a± 9a2-4ac-c2

2

∵抛物线与y轴交点（0，

c2

4

）在y轴正半轴．
直线y=ax-bc与y轴交点在y轴负半轴，a＞0
∴x₁＞0，x₂＞0，
∵

S△MOE

S△MOF

=

EE′

FF′

=

3a+ 9a2-4ac-c2 2

3a- 9a2-4ac-c2 2

=5
∴

9a2-4ac-c2

=2a
∴9a²-4ac-c²=4a²
∴5a²-4ac-c²=0，即（a-c）（5a+c）=0
∵5a+c≠0，
∴a=c
∴a=b=c，△ABC为等边三角形．

点评：本题考查二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．