Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1，

∴，

解得：．

∴二次函数的解析式为y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令y=﹣x²﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴点A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x轴于点D，

∵点P在y=﹣x²﹣2x+3上，

∴设点P（x，﹣x²﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA=NA，

∴△PAD≌△AND，

∴OA=PD

即y=﹣x²﹣2x+3=2，

解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，

∴点P（﹣﹣1，2）；

②∵S_{四边形BCPA}=S_△OBC+S_△OAC=2+S_△APC

∵S_△AOC=，S_△OCP=x，S_△OAP=•3•|y_P|=﹣x²﹣3x+

∴S_△APC=S_△OAP+S_△OCP﹣S_△AOC=x+（﹣x²﹣3x+）﹣=﹣x²﹣x=﹣（x﹣）²+，

∴当x=﹣时，S_△ACP最大值=，

此时M（﹣，﹣），

S_{四边形PABC最大}=．

点评： 本题考查了二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．求抛物线的最值的方法是配方法．