Question

16．已知，如图，点A′、B′、C′、D′分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上且AA′=BB′=CC′=DD′．
（1）求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
（2）当点A′、B′、C′、D′处在什么位置时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的$\frac{5}{9}$？请写出计算过程．

Answer 1

分析 （1）先证明△AA′D′≌△BB′A′，得出A′D′=A′B′，∠AA′D′=∠BB′A′，再由角的互余关系得出∠B′A′D′=90°，证出四边形A′B′C′D′是矩形，即可证出结论；
（2）由正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′得出：$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，设A′B′=$\sqrt{5}$a，AB=3a，根据勾股定理求出A′B，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AA′=BB′=CC′=DD′，
∴A′B=B′C=C′D=D′A，
在△AA′D′和△BB′A′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AA′=BB′}&{\;}\\{∠A=∠B}&{\;}\\{D′A=A′B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AA′D′≌△BB′A′（SAS），
∴A′D′=A′B′，∠AA′D′=∠BB′A′，
∵∠BB′A′+∠BA′B′=90°，
∴∠AA′D′+∠BA′B′=90°，
∴∠B′A′D′=90°，
同理：∠A′B′C′=∠B′C′D′=90°，
∴四边形A′B′C′D′是矩形，
∴四边形A′B′C′D′是正方形；
（2）点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA的中点时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的$\frac{5}{9}$；
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，
∴正方形A′B′C′D′：正方形ABCD的面积=（$\frac{A′B′}{AB}$）²=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
设A′B′=$\sqrt{5}$a，AB=3a，A′B=x，
则BB′=3a-x，
在Rt△A′BB′中，x²+（3a-x）²=（$\sqrt{5}$a）²，
解得：x=a，或x=2a，
∴A′B=2a，
∴点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA的三等分点时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似多边形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等和相似是解决问题的关键．