Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B（0，12），点A在第一象限内，△AOB为等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向终点O运动，连接DA，过点A作AE⊥AD，射线AE交x轴于点E，连接BE，交线段AC于点F，交线段OA于点G．

（1）请直接写出A的坐标；

（2）点D运动的时间为t秒时，用含t的代数式表示△ACD的面积S，并写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当四边形DAEO的面积等于6S时，求△AGF的面积．

　

Answer 1

【答案】（1）A（6，6）；（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，S= 18﹣6t，当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，∴S= 6t﹣18；（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，S△AFG=6；②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，S△AFG=．

【解析】

（1）先确定出OB=12，再用等腰直角三角形的性质得AC=BC=OC=OB=6，即可得出结论；

（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，得出CD=BC-BD=6-2t，利用三角形面积公式即可；

当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，CD=BD-BC=2t-6，最后利用三角形面积公式即可；

（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，先判断出S△ACD=S△AME，进而S四边形DOEA=S正方形ACOM=AC2=36，即可求出S，进而t=2，CD=EM=2，OE=4，再求出AF=AC-CF=4=OE，最后判断出△AFG≌△OEG，求出PG=QG=6即可得出结论；

②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，同①的方法知，S=6，t=4，CD=EM=2，OE=8，同①的方法得，OF=4，即AF=AC-OF=2，再判断出△AFG∽△OEG，得出h'=4h，即可得出h=即可得出结论．

（1）∵B（0，12），

∴OB=12，

∵△AOB为等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，

∴AC=BC=OC=OB=6，

∴A（6，6）；

（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，

由运动知，BD=2t，

∴CD=BC﹣BD=6﹣2t，

∴S=S△ACD=CD×AC=18﹣6t，

当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，

由运动知，BD=2t，

∴CD=BD﹣BC=2t﹣6，

∴S=S△ACD=CD×AC=6t﹣18；

（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，

过点A作AM⊥x轴于M，

∴四边形OCAM是矩形，

∵A（6，6），

∴AC=AM，

∴矩形OCAM是正方形，

∴OM=AC=6，∠CAM=90°，

∵∠DAE=90°，

∴∠CAD=∠EAM，

在△ACD和△AME中，

，

∴△ACD≌△AME，

∴S△ACD=S△AME，

∴S四边形DOEA=S△ACD+S四边形COEA=S△AMF+S四边形COEA=S正方形ACOM=AC2=36，

∵四边形DAEO的面积等于6S，

∴6S=36，

∴S=6，

由（2）知，S=18﹣6t，

∴18﹣6t=6，

∴t=2，

∴CD=EM=6﹣2t=2，

∵OM=6，

∴OE=OM﹣EM=4，

∵AC∥OM，OC=BC，

∴CF=OE=2，

∴AF=AC﹣CF=4=OE，

过点G作GQ⊥OM于Q，交AC于P，

∴PG⊥AC，

∴四边形OCPQ是矩形，

∴PQ=OC=6，

易知，△AFG≌△OEG，

∴PG=QG=6，

∴S△AFG=AF×PG=6；

②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，

同①的方法知，S=6，

∵S=6t﹣18，

∴6t﹣18=6，

∴t=4，

∴CD=EM=2，

∴OE=8，

同①的方法得，OF=4，

∴AF=AC﹣OF=2，

∵AC∥OM，

∴△AFG∽△OEG，

设△AFG的边AF上的高为h，△OEG的边OE上的高为h'，

∴．

∴h'=4h，

∵h+h'=6，

∴h=，

∴S△AFG=AF×h=．