Question

有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0．设x=|

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

|，试求代数式x¹⁹+99x+2000之值．

Answer 1

分析：根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负与a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），则可得

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．

解答：解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，
又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即

a

b+c

=-1，

b

c+a

=-1，

c

a+b

=-1，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

=±1，x=|

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

|=1，
∴x¹⁹+99x+2000=1+99+2000=2100．

点评：本题考查了分式的运算，注意分类讨论思想的应用．能得到

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1是解此题的关键，要注意仔细分析，难度适中．