Question

10．已知：在正方形ABCD中，M在AB上，点N在CD上，把正方形ABCD沿MN翻折，使点B落在边AD上的点E处，点C的对应点为P，EP交CD于F．
（1）求证：AE+CF=EF；
（2）连BE，交AC于K，判断AK、CF和BC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）证明：如图1中，作BG⊥EF于G，连接BF．只要证明△BEA≌△BEG，推出EA=EG，同理可得FG=FC，由此即可证明．
（2）结论：$\sqrt{2}$AK+FC=BC．如图2中，连接BD、BF，只要证明由△BAK∽△BDF，推出$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AK}{DF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即DF=$\sqrt{2}$AK，由DF+CF=CD=BC，可得$\sqrt{2}$AK+CF=BC．

解答 （1）证明：如图1中，作BG⊥EF于G，连接BF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵ME=MB，∠MBC=∠MEF=90°，
∴∠MBE=∠MEB，
∴∠CBE=∠BEF，
∴∠AEB=∠BEG，∵BA⊥EA，BG⊥EF，
∴BA=BG=BC，
∵BE=BE，
∴△BEA≌△BEG，
∴EA=EG，同理可证FG=FC，
∴EF=EG+GF=AE+FC．

（2）结论：$\sqrt{2}$AK+FC=BC．
理由：如图2中，连接BD、BF．

由（1）可知∠EBF=45°，
∵∠ABD=∠EBF=45°，
∴∠ABK=∠DBF，
∵∠BAK=∠BDF=45°，
∴△BAK∽△BDF，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AK}{DF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴DF=$\sqrt{2}$AK，
∵DF+CF=CD=BC，
∴$\sqrt{2}$AK+CF=BC．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第二个问题的突破口是利用相似三角形的性质，题目比较难，属于中考压轴题．