Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于两点，交轴于点对称轴是直线．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）连接是线段上一点，点关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；

（3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点即停止运动.过点作轴的垂线交抛物线于点交线段于点．设运动时间为秒．

①连接，若与相似，请直接写出的值；

②能否为等腰三角形．若能，求出的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①t=1；②能；秒或秒

【解析】

（1）点A、B关于直线x=-1对称，AB=4，由对称性质知A（-3，0），B（1，0），将A,B两点坐标代入解析式组成方程组求解即可；
（2）先求出AC直线解析式，再将点F的坐标代入直线AC的表达式，即可求解；
（3）①当△BOC与△AMN相似，＝3或，即=3或，即可求解；②分AO=AQ、QO=AQ、AO=OQ三种情况，分别求解即可．

解:点关于直线对称，

代入中，得:

解得

抛物线的解析式为

点坐标为；

如图，连接

设直线的解析式为

则有:

解得

直线的解析式为

点关于直线对称，

又点到对称轴的距离为，

点的横坐标为

将代入中，

得:

；

（3）①t秒时，点M的坐标为（-2t，0），则点Q（-2t，2t-3），
点N[-2t，（-2t）2+2×（-2t）-3]，即（-2t，4t2-4t-3），
则MN=-4t2+4t+3，AM=3-2t，

∵△BOC与△AMN相似，
∴＝3或

即=3或，
解得：t=或1或-（舍去和-），
故t=1；

轴，

若为等腰三角形，分三种情况讨论，

第一种情况，当时，

可由定理证得

中，，

易得

第二种情况，当时，

在中，

即

第三种情况，当时，点重合，

此时

而故不符合题意，

综上所述，当秒或秒时，为等腰三角形.