如图，已知A、B两点的坐标分别为（ $数学公式$ ，0）、（0，4），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的纵坐标为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由P点在第一象限，∠AOP=45°，可设P（a，a）．过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，用含a的代数式分别表示PF，CF，在△CFP中由勾股定理求出a的值，即可求得P点的坐标．
解答：

解：∵OB=4，OA=4 $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$ =8，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设P（a，a）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，设为点C，则C（2 $\text{[math]}$ ，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径4．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-2，CF=a-2 $\text{[math]}$ ，PC=4，
∴ $\text{[math]}$ +（a-2）²=4²，舍去不合适的根，
可得a=2+2 $\text{[math]}$ ，P（2+2 $\text{[math]}$ ，2+2 $\text{[math]}$ ）；
即P点坐标为（2 $\text{[math]}$ +2，2 $\text{[math]}$ +2）．
故选：D．
点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．

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