Question

20．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，沿直线DE折叠△ABC，当点A的对应点A′与△ABC的中心O重合时，折痕DE的长为1．

Answer 1

分析 如图所示，过点O作OF⊥AC，垂足为F．连接OA=OC．先求得AO的长，由翻折的性质可知AG=$\frac{1}{2}AO$，然后可求得∠ADE=60°，最后根据特殊锐角三角函数值可求得DG的长度，从而可求得DE的长．

解答 解：如图所示，过点O作OF⊥AC，垂足为F．连接OA=OC．

∵点O为等边三角形的中心，
∴OA=OC．∠OAF=30°．
又∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1.5
∴OA=$\frac{AF}{cos30°}$=$\frac{3}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知：AG=$\frac{1}{2}AO$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵DE∥BC，
∴∠ADG=∠B=60°．
∴$\frac{AG}{DG}=\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{DG}=\sqrt{3}$．
∴DG=$\frac{1}{2}$．
∴DE=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，由点A′与等边三角形的中线重合求得AF、OA的长是解题的关键．